Tự tương quan là gì? Các bài nghiên cứu khoa học liên quan

Định nghĩa tự tương quan

Tự tương quan (autocorrelation) là thước đo thống kê phản ánh mức độ tương quan giữa các giá trị của cùng một biến ở các thời điểm khác nhau trong chuỗi thời gian. Khác với tương quan thông thường giữa hai biến khác nhau, tự tương quan đánh giá mức độ giống nhau về xu hướng hoặc mẫu hình giữa $x_t$ và $x_{t-k}$ với một độ trễ k xác định. Theo Investopedia, tự tương quan còn được gọi là serial correlation, và giá trị hệ số tự tương quan thường nằm trong khoảng từ -1 (tương quan âm hoàn hảo) đến +1 (tương quan dương hoàn hảo).

Khi một chuỗi thời gian có tự tương quan đáng kể, điều này cho thấy rằng các quan sát không độc lập hoàn toàn: giá trị hiện tại có thể bị ảnh hưởng bởi các giá trị trong quá khứ. Như IBM Think nêu, trong trường hợp chuỗi có xu hướng (trend) hoặc chu kỳ (seasonality), tự tương quan tại các độ trễ nhỏ thường dương và giảm dần theo độ trễ tăng lên. Nếu chuỗi không có cấu trúc phụ thuộc nào thì tự tương quan gần như bằng 0, và khi đó dữ liệu được coi là “white‑noise” (nhiễu trắng).

Biểu thức toán học của tự tương quan

Giá trị hệ số tự tương quan tại độ trễ $k$ được tính theo công thức:

$r_k = \frac{\sum_{t=1}^{n-k}(x_t - \bar{x})(x_{t+k} - \bar{x})}{\sum_{t=1}^{n} (x_t - \bar{x})^2}$

Ở đây $x_t$ là giá trị của chuỗi tại thời điểm $t$, $\bar{x}$ là giá trị trung bình của chuỗi, và $n$ là số quan sát trong chuỗi. Đối với chuỗi rời rạc, biểu thức có thể được viết lại để lấy trung bình mẫu thay vì tổng nếu $n$ lớn.

Công thức trên thể hiện rằng $r_k$ đo mức độ dự đoán của $x_{t+k}$ từ $x_t$. Giá trị $r_0 = 1$ luôn đúng (vì tự tương quan với chính nó tại độ trễ 0 là hoàn hảo), và theo thời gian nếu mẫu có xu hướng ngẫu nhiên thì $r_k$ sẽ tiến gần 0 khi $k$ tăng lên.

Ý nghĩa và vai trò của tự tương quan

Tự tương quan có vai trò quan trọng trong phân tích chuỗi thời gian, xử lý tín hiệu, kinh tế lượng và các mô hình thống kê khác. Khi giá trị của một biến tại thời điểm hiện tại phụ thuộc vào giá trị quá khứ, nhà phân tích có thể nhận diện được các mẫu lặp lại, xu hướng dài hạn hoặc yếu tố mùa vụ.

Ví dụ, trong các mô hình AR (Autoregressive) và ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average), thông tin từ hệ số tự tương quan được sử dụng để xác định bậc $p$ (số độ trễ) bằng cách quan sát đồ thị ACF (Autocorrelation Function). Tài liệu từ Penn State STAT 501 trình bày rõ rằng việc có tự tương quan trong phần dư hồi quy có thể làm sai lệch ước lượng và kiểm định thống kê.

Phân biệt tự tương quan với tương quan

Mặc dù tự tương quan và tương quan đều đo lường mức độ liên quan tuyến tính, nhưng chúng khác nhau về đối tượng được so sánh. Tương quan (correlation) đo mối quan hệ giữa hai biến khác nhau $x$ và $y$, trong khi tự tương quan đo mối quan hệ giữa một biến và chính nó nhưng ở hai thời điểm khác nhau.

Dưới đây là bảng so sánh nhanh giúp làm rõ:

Việc nhầm lẫn hai khái niệm này có thể dẫn đến sai sót khi thiết kế mô hình hoặc diễn giải kết quả phân tích, đặc biệt trong các phân tích chuỗi thời gian nơi tính độc lập của quan sát thường bị vi phạm.

Tự tương quan dương và âm

Tự tương quan có thể mang giá trị dương hoặc âm, tùy thuộc mối quan hệ giữa giá trị hiện tại và giá trị quá khứ. Khi hệ số tự tương quan dương, điều đó nghĩa rằng giá trị lớn (hoặc nhỏ) trong quá khứ thường đi kèm với giá trị lớn (hoặc nhỏ) ở thời điểm sau, cho thấy xu hướng hoặc dao động chậm.

Ngược lại, khi có tự tương quan âm, giá trị lớn trong quá khứ có thể đi kèm với giá trị nhỏ ở thời điểm sau, biểu thị một sự dao động mạnh hoặc phản hồi nhanh. Việc nhận diện loại tự tương quan này rất quan trọng để thiết kế mô hình phù hợp và tránh suy luận sai về tính độc lập của dữ liệu.

Kiểm định tự tương quan

Việc kiểm tra xem chuỗi dữ liệu có hiện tượng tự tương quan hay không là bước quan trọng trong phân tích chuỗi thời gian và hồi quy tuyến tính. Nếu tự tương quan tồn tại, các giả định cơ bản của mô hình hồi quy OLS (như sai số không có tương quan) sẽ bị vi phạm, khiến ước lượng không còn hiệu quả.

Các kiểm định phổ biến nhất gồm:

• Durbin–Watson (DW) test: Thường áp dụng để phát hiện tự tương quan bậc 1 trong phần dư mô hình hồi quy tuyến tính. Giá trị DW nằm trong khoảng [0, 4], với khoảng 2 cho thấy không có tự tương quan, nhỏ hơn 2 chỉ ra tự tương quan dương, và lớn hơn 2 là tự tương quan âm.
• Ljung–Box Q test: Được sử dụng để kiểm tra tự tương quan tại nhiều độ trễ trong chuỗi thời gian. Nó kiểm định giả thuyết rỗng rằng tất cả các hệ số tự tương quan từ bậc 1 đến bậc k đều bằng 0.

Định nghĩa thống kê của chỉ số Durbin–Watson như sau:

$DW = \frac{\sum_{t=2}^{n}(e_t - e_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^{n} e_t^2}$

Trong đó $e_t$ là phần dư (residual) tại thời điểm t. Nếu dữ liệu có tự tương quan mạnh, tử số nhỏ hơn, dẫn đến chỉ số DW thấp.

Biểu đồ hàm tự tương quan (ACF)

Hàm tự tương quan ACF (Autocorrelation Function) là công cụ trực quan giúp xác định độ trễ nào có mối liên hệ với chuỗi gốc. Biểu đồ ACF biểu diễn hệ số $r_k$ theo từng độ trễ $k$. Mỗi cột biểu diễn mức độ tự tương quan tại độ trễ tương ứng, và các đường ranh giới thể hiện khoảng tin cậy (thường là 95%).

Nếu các giá trị $r_k$ nằm ngoài khoảng tin cậy, chúng được xem là có ý nghĩa thống kê. Ví dụ, nếu ACF giảm dần một cách tuyến tính, chuỗi có thể mang tính tự hồi quy AR. Nếu ACF có dạng răng cưa hoặc dao động, chuỗi có thể mang yếu tố mùa vụ.

Theo Forecasting: Principles and Practice của Hyndman và Athanasopoulos, việc đọc đồ thị ACF nên được kết hợp với biểu đồ PACF (Partial Autocorrelation Function) để xác định cấu trúc chính xác trong mô hình ARIMA.

Ứng dụng thực tiễn

Tự tương quan có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật và kinh tế. Nó không chỉ là công cụ phân tích mà còn là cơ sở để xây dựng các mô hình dự báo, phân tích lỗi, tối ưu hóa hệ thống và phát hiện dị thường.

Một số ứng dụng tiêu biểu:

• Kinh tế học: Phân tích chuỗi GDP, lạm phát, lợi suất trái phiếu, hay lợi nhuận chứng khoán đều sử dụng tự tương quan để nhận diện xu hướng và chu kỳ kinh tế.
• Xử lý tín hiệu: Trong kỹ thuật số, tự tương quan giúp lọc nhiễu, phát hiện tín hiệu tuần hoàn và xác định độ trễ trong hệ thống truyền dẫn.
• Kỹ thuật cơ khí và điện tử: Phân tích độ rung, dao động hoặc biến dạng có tính tuần hoàn, hỗ trợ trong chẩn đoán hỏng hóc và bảo trì dự đoán.
• Khoa học khí hậu: Dự báo nhiệt độ, lượng mưa hoặc mức nước biển thường dựa trên các mô hình tự tương quan theo mùa vụ hoặc theo năm.

Ví dụ, trong thị trường chứng khoán, mức tự tương quan dương cao trong chuỗi giá có thể được các nhà đầu tư khai thác để xây dựng chiến lược giao dịch theo xu hướng (trend-following).

Hạn chế và lưu ý khi sử dụng

Mặc dù tự tương quan là công cụ mạnh, nhưng việc sử dụng không đúng cách có thể dẫn đến những kết luận sai lầm. Một trong những lỗi phổ biến là sử dụng ACF trên chuỗi không dừng (non-stationary), khiến các hệ số tự tương quan cao giả tạo.

Trước khi phân tích tự tương quan, cần đảm bảo chuỗi dữ liệu là dừng hoặc đã được chuyển thành chuỗi dừng qua sai phân hoặc biến đổi logarit. Ngoài ra, các yếu tố như giá trị ngoại lai (outlier), missing data, hoặc chuỗi có cấu trúc phi tuyến cũng có thể ảnh hưởng đến tính chính xác của ACF.

Các bước kiểm tra thường được đề xuất:

1. Kiểm tra tính dừng bằng ADF test hoặc KPSS test
2. Loại bỏ xu hướng hoặc mùa vụ nếu có
3. Áp dụng kiểm định tự tương quan và đồ thị ACF
4. Lựa chọn mô hình phù hợp: AR, MA, ARMA, ARIMA

Trong hồi quy tuyến tính, nếu phần dư có tự tương quan, ta có thể dùng mô hình hồi quy có sai số tự tương quan (Cochrane–Orcutt) hoặc chuyển sang các phương pháp GLS (Generalized Least Squares).

Tài liệu tham khảo

1. Durbin, J., & Watson, G. S. (1950). "Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression". Biometrika.
2. Hyndman, R. J., & Athanasopoulos, G. (2021). "Forecasting: Principles and Practice". https://otexts.com/fpp3/
3. IBM Think. "Understanding Autocorrelation". https://www.ibm.com
4. Penn State Eberly College of Science. "STAT 501: Regression Methods". https://online.stat.psu.edu/stat501/
5. Investopedia. "Autocorrelation Definition". https://www.investopedia.com